行列式的六个性质和两个推论的证明有谁知道

§5行列式的性质

转置行列式

记

行列式DT称为行列式D的转置行列式

性质1 行列式D与它的转置行列式DT相等

证记Ddet(aij)的转置行列式

8?9

则bijaji (i j1 2 n) 按定义

而由定理2 有

故DTD

由此性质可知行列式中的行与列具有同等的地位行列式的性质凡是对行成立的对列也同样成立反之亦然

性质2 互换行列式的两行行列式变号

证设行列式

是由行列式Ddet(aij)对换i j两行得到的即bkpakp(ki j) bipajp bjpaip(p1 2 n) 于是

其中1 i j n为标准排列 t为排列p1 pi pj pn的逆序数设排列

p1 pj pi pn的逆序数为t1 则故

以r i表示行列式的第i行以c i表示第i列交换i j两行记作rirj 交换i j两列记作cicj

推论1 如果行列式有两行(列)完全相同则此行列式等于零

证把这两行互换有DD 故D0

性质3 行列式的某一行(列)中所有的元素都乘以同一数k 等于用数k乘此行列式即

第i行(或列)乘以k 记作rik(或cik)

推论行列式中某一行(列)的所有元素的公因子可以提到行列式符号的外面

第i行(或列)提出公因子k 记作rik(或cik)

性质4 行列式中如果有两行(列)元素成比例则行列式等于零

性质5 若行列式的某一行(列)的元素都是两个数之和例如第i行的元素都是两数之和

则D等于下列两个行列式之和

性质6 把行列式的某一行(列)的各元素乘以同一数然后加到另一列(行)对应的元素上去行列式不变即

以数k乘第j行加到第i行上记作rikrj

推论行列式某一行(列)的元素与另一行(列)的对应元素的代数余子式乘积之和等于零即

ai1Aj1ai2Aj2 ainAjn 0 (ij)

或 a1iA1ja2iA2j aniAnj0 (ij)

证明因为

所以

aj1Aj1aj2Aj2 ajnAjn(aj1ai1)Aj1(aj2ai2)Aj2 (ajnain)Ajn

移项化简得

ai1Aj1 ai2Aj2 ainAjn0

综合结果

或

矩阵逆矩阵定理AA=AA=|A|E证明中

行列式的行(列)乘以对应的代数余子式得到原行列式，行列式的行（列）乘以其它行（列）对应的代数余子式得到的行列式有以下特点：

行列式的阶为代数余子式阶加1；得到的行列式与原行列式比较，j行（列）被i行（列）元素替换，（这只是代数余子式分解的逆过程）。

扩展资料

1、行列式A中某行(或列)用同一数k乘,其结果等于kA。

2、行列式A等于其转置行列式AT(AT的第i行为A的第i列)。

3、若n阶行列式|αij|中某行(或列);行列式则|αij|是两个行列式的和，这两个行列式的第i行(或列),一个是b1,b2,…,bn；另一个是с1，с2,…,сn；其余各行（或列）上的元与|αij|的完全一样。

百度百科-行列式

求大神帮忙解答，线性代数问题

对于ai1Aj1+ai2Aj2+...+ainAjn，如果i≠j，考察一个新的行列式B，B的第j行等于A的第i行，其余部分和A一样，那么B的第j行的每个代数余子式都有Bjk=Ajk，|B|=ai1Aj1+ai2Aj2+...+ainAjn。但是要注意到B有两行相同（i和j），所以|B|=0。

当i=2时，括号中的式子=|A|

当i=1或者3时，括号中的式子均为0（原因：A21,A22,A23的计算不涉及a21, a22, a23。因此，如果i=1时，你可以将a21, a22, a23直接换成a11, a12, a13，即将第二行全部换成第一行的值来构造一个新的方阵，此方阵的A21,A22,A23与变化前方阵的A21,A22,A23完全一样，那么当i=1时，括号中的值就等于新构造方阵的行列式。由于于第一行、第二行的数字是一样的，因而此时新构造的行列式的值=0。同理可得到i=3时，括号中的值了等于0）

因此，原式=|A|^(2)=2^2=4

其实此题是利用了行列式的一个性质，即

当i=j时，ai1Aj1+ai2Aj2+……+ainAjn=|A|

当i≠j时，ai1Aj1+ai2Aj2+……+ainAjn=0

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